Calcular delta em opções de fx

Como posso calcular o valor nocional ajustado delta?

O valor nocional ajustado pela Delta é usado para mostrar o valor de uma opção. Isso é diferente da maioria dos outros derivativos, que usam o valor nocional bruto ou, no caso de derivativos de taxa de juros, o valor equivalente de títulos de 10 anos. Você pode calcular o valor nocional ajustado em delta de um portfólio adicionando os deltas ponderados das opções juntos.

O valor nocional ajustado delta mostra o quão valiosa seria uma carteira replicada se fosse composta apenas por uma posição patrimonial correspondente. Por exemplo, suponha que uma ação esteja sendo negociada a $ 70 e o delta de uma opção de compra seja 0,8. Isso significa que o valor do delta ponderado para a opção é de US $ 56 (US $ 70 x 0,80).

Explicando o Delta.

Na terminologia de negociação de derivativos, "delta" refere-se à sensibilidade do preço do derivativo às mudanças no preço do ativo subjacente.

Um investidor compra 20 contratos de opções de compra em uma ação. Se o estoque subir 100%, mas o valor dos contratos só aumentar em 75%, então o delta para as opções é 0,75. Os deltas de opção de chamada são positivos, enquanto os deltas de opção de venda são negativos.

Explicando Valor Nocional.

Valor nocional é o valor total de mercado de uma posição alavancada. Isso é fácil de demonstrar com um contrato futuro indexado. Um índice S & amp; P 500 futuro vale 250 unidades do S & P 500. Suponha que o índice esteja sendo negociado a US $ 500; o valor nocional do índice é, portanto, de US $ 125.000 (US $ 500 x 250).

Como as opções têm uma sensibilidade dependente de delta, seu valor nocional não é tão simples quanto um contrato de futuros indexado. Em vez disso, o valor nocional da opção precisa ser ajustado com base nos deltas dentro do portfólio.

A maneira mais fácil de calcular esse valor nocional ajustado delta é calcular o delta para cada opção individual e adicioná-los juntos.

O que é 'Delta'

O delta é um índice que compara a mudança no preço de um ativo, geralmente um título negociável, com a mudança correspondente no preço de seu derivativo. Por exemplo, se uma opção de ação tiver um valor delta de 0,65, isso significa que se a ação subjacente aumentar o preço em US $ 1 por ação, a opção aumentará em US $ 0,65 por ação, sendo o restante igual.

Cobertura Delta.

Futuros Equivalentes.

Coloque em uma chamada.

QUEBRANDO 'Delta'

Os valores delta podem ser positivos ou negativos dependendo do tipo de opção. Por exemplo, o delta de uma opção de compra sempre varia de 0 a 1, pois à medida que o ativo subjacente aumenta de preço, as opções de chamada aumentam de preço. Os deltas de opção de colocação sempre variam de -1 a 0 porque, conforme a segurança subjacente aumenta, o valor das opções de colocação diminui. Por exemplo, se uma opção de venda tiver um delta de -0,33, se o preço do ativo subjacente aumentar em US $ 1, o preço da opção de venda diminuirá em US $ 0,33. Tecnicamente, o valor do delta da opção é a primeira derivada do valor da opção com relação ao preço do título subjacente.

O Delta é frequentemente usado em estratégias de hedge e também é conhecido como taxa de hedge.

Exemplos de Delta.

A BigCorp é uma empresa de capital aberto. As ações de suas ações são compradas e vendidas em uma bolsa de valores, e existem opções de venda e opções de compra negociadas para essas ações. O delta para a opção de chamada nos compartilhamentos da BigCorp é .35. Isso significa que uma alteração de US $ 1 no preço das ações da BigCorp gera uma alteração de US $ 0,35 no preço das opções de compra da BigCorp. Portanto, se as ações da BigCorp forem negociadas a US $ 20 e a opção de compra for negociada a US $ 2, uma mudança no preço das ações da BigCorp para US $ 21 significa que a opção de compra aumentará para US $ 2,35.

Coloque opções de trabalho no caminho oposto. Se a opção de venda em ações da BigCorp tiver um delta de - $ .65, então um aumento de US $ 1 no preço das ações da BigCorp gerará uma redução de US $ 0,65 no preço das opções de venda da BigCorp. Portanto, se as ações da BigCorp forem negociadas a US $ 20 e a opção de venda for negociada a US $ 2 e, em seguida, as ações da BigCorp aumentarem para US $ 21, a opção de venda diminuirá para US $ 1,35.

Como a Delta determina o comportamento.

O Delta é um cálculo importante (feito por software), pois é uma das principais razões pelas quais os preços das opções se movem da maneira que fazem - e um indicador de como investir. O comportamento da opção de compra e venda delta é altamente previsível e é muito útil para gestores de carteiras, negociantes, gerentes de fundos de hedge e investidores individuais.

O comportamento delta da opção de compra depende se a opção é "in-the-money", significando que a posição é atualmente lucrativa, "no dinheiro", significando que o preço de exercício da opção é igual ao preço da ação subjacente ou "out of - o dinheiro ", significando que a opção não é atualmente rentável. Opções de chamadas dentro do dinheiro se aproximam de 1 como suas abordagens de expiração. As opções de compra no dinheiro geralmente têm um delta de 0,5 e o delta de opções de compra fora do dinheiro se aproxima de 0 como abordagens de vencimento. Quanto mais dinheiro estiver na opção de compra, mais o delta estará mais próximo de 1, e mais a opção se comportará como o ativo subjacente.

Os comportamentos delta de opção de opção também dependem de a opção ser "in-the-money", "no dinheiro" ou "out-of-the-money" e serem o oposto das opções de compra. As opções de venda dentro do dinheiro aproximam-se de -1 como abordagens de expiração. As opções de venda no dinheiro geralmente têm um delta de -0,5 e o delta de opções de venda fora do dinheiro se aproxima de 0 como abordagens de expiração. Quanto mais profunda a opção de venda, mais próximo o delta estará de -1.

Delta Spread.

O spread delta é uma estratégia de negociação de opções na qual o negociante inicialmente estabelece uma posição delta neutral comprando e vendendo simultaneamente opções em proporção ao índice neutro (isto é, as deltas positivas e negativas compensam umas às outras, de forma que o delta geral de os ativos em questão totalizam zero). Usando um spread delta, um comerciante geralmente espera obter um pequeno lucro se o título subjacente não mudar amplamente de preço. No entanto, ganhos ou perdas maiores são possíveis se o estoque se movimentar significativamente em qualquer direção.

O spread delta mais comum é um spread de calendário. O spread do calendário envolve a construção de uma posição neutra delta usando opções com datas de vencimento diferentes. No exemplo mais simples, um comerciante venderá simultaneamente as opções de compra no próximo mês e comprará as opções de compra com uma expiração posterior em proporção à sua relação neutra. Uma vez que a posição é delta neutra, o comerciante não deve experimentar ganhos ou perdas de pequenos movimentos de preços no título subjacente. Em vez disso, o trader espera que o preço permaneça inalterado, e como as chamadas do mês próximo perdem o valor do tempo e expiram, o trader pode vender as opções de compra com datas de vencimento mais longas e, espera-se, obter lucro.

Opção Gregas Excel Fórmulas.

Gráficos Black-Scholes Gregos Excel.

Esta é a segunda parte do guia Black-Scholes Excel que cobre os cálculos do Excel das opções gregas (delta, gama, theta, vega e rho) no modelo de Black-Scholes. Eu continuarei no exemplo da primeira parte para demonstrar as fórmulas exatas do Excel. Veja a primeira parte para detalhes sobre os parâmetros e as fórmulas do Excel para d1, d2, preço de compra e preço de venda.

Aqui você pode encontrar explicações detalhadas de todas as fórmulas de Black-Scholes.

Aqui você pode ver como tudo funciona em conjunto no Excel na Calculadora Black-Scholes.

Delta no Excel.

Delta é diferente para opções de compra e venda. As fórmulas para delta são relativamente simples e assim é o cálculo no Excel.

Calculo call delta na célula V44, continuando no exemplo da primeira parte, onde já calculei os dois termos individuais nas células M44 e S44:

O cálculo do put delta é quase o mesmo, usando as mesmas células. Basta adicionar menos um e não esquecer os parênteses:

Gama no Excel.

A fórmula para gamma é a mesma para chamadas e puts. É um pouco mais complicado que as fórmulas delta acima:

Observe especialmente a segunda parte da fórmula:

Você encontrará este termo no cálculo de theta e vega também. É a função de densidade de probabilidade normal padrão para - d1. No Excel, a fórmula é assim:

& # 8230; onde K44 é a célula onde você calculou d1 (veja a primeira parte).

Como alternativa, você pode usar a função Excel NORM. DIST, que também expliquei na primeira parte. A única diferença da primeira parte é que o último parâmetro (cumulativo) é agora FALSE. Não esqueça o sinal de menos antes de K44:

Essas duas fórmulas devem retornar o mesmo resultado.

No exemplo da Calculadora Black-Scholes, eu uso a primeira fórmula. A fórmula inteira para gamma (mesmo para chamadas e puts) é:

Theta no Excel.

Theta tem as fórmulas mais longas de todos os cinco gregos de opção mais comuns. É diferente para chamadas e puts, mas as diferenças são novamente apenas alguns sinais negativos aqui e ali e você deve ser muito cuidadoso. Theta é muito pequeno para muitas opções, o que dificulta a detecção de um possível erro em seus cálculos.

Embora pareça complicado, todos os símbolos e termos nas fórmulas já devem estar familiarizados com os cálculos dos preços das opções e delta e gama acima. Uma exceção é o T no início das fórmulas.

T é o número de dias por ano. Você pode escolher dias de calendário (T = 365 ou 365,25) ou dias de negociação (T = 252 ou algo semelhante, dependendo de onde você negocia). Com base na sua seleção, a interpretação do theta será então a mudança de preço da opção em um dia do calendário ou a alteração do preço da opção em um dia de negociação.

Opção de chamada Theta.

A fórmula completa para chamar theta no nosso exemplo está na célula X44. É longo e usa várias (10) outras células, mas não há matemática alta:

A última linha da fórmula na imagem acima é o T. Cell C20 na calculadora contém um combo onde os usuários selecionam dias de calendário ou dias de negociação. As células D3 e D4 na folha Time Units contêm o número de dias de calendário e de negociação por ano. Se você quiser mantê-lo simples, você pode substituir toda a última linha da fórmula com um número fixo, como 365.

Você pode novamente encontrar a explicação de todas as células individuais na primeira parte ou ver todos esses cálculos do Excel diretamente na calculadora.

Coloque opção Theta.

Analogicamente para chamar teta, a fórmula para colocar theta na célula AD44 é:

Vega no Excel.

A fórmula para vega é a mesma para chamadas e puts:

Não há nada novo. Você pode novamente ver o termo familiar no final.

No exemplo da calculadora eu calculo vega na célula Y44:

Rho no Excel.

Rho é novamente diferente para chamadas e puts. Existem mais dois sinais negativos na fórmula put rho.

No exemplo da calculadora, calculo a chamada rho na célula Z44. É simplesmente um produto de dois parâmetros (preço de exercício e tempo até a expiração) e células que já calculei nas etapas anteriores:

Calculo colocar rho na célula AF44, novamente como produto de 4 outras células, dividido por 100. Certifique-se de colocar o sinal de menos para o início:

Mais sobre Gregos da Opção no Excel.

Você também pode usar o Excel e os cálculos acima (com algumas modificações e melhorias) para modelar o comportamento das opções individuais dos gregos e os preços das opções em diferentes situações do mercado (mudanças nos parâmetros do modelo Black-Scholes). Isso está além do escopo deste guia, mas você pode encontrá-lo na Calculadora Black-Scholes e no Guia PDF.

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Mantendo um olho na posição Delta.

Em Conheça os Gregos, discutimos como o delta afeta o valor das opções individuais. Agora vamos dar uma olhada em como você pode levar o delta para o próximo nível. & ldquo; Posição delta & rdquo; permite que você acompanhe o efeito de delta líquido em um grupo inteiro de opções baseadas no mesmo estoque subjacente.

Pense no delta de posição dessa maneira: as opções agem como um substituto para um certo número de ações do estoque subjacente. Para qualquer posição de opção em um estoque específico, você pode somar os deltas de todos os contratos de opções e descobrir quantas ações do estoque todo o grupo de valores mobiliários está agindo. Dessa forma, você sempre saberá como deve reagir quando a ação fizer um movimento de um ponto em qualquer direção.

Como as opções funcionam como um substituto para ações do estoque.

Um contrato de chamada única com um delta de 0,01 é um substituto para uma ação do estoque. Aqui está o porquê.

Se o preço das ações subir US $ 1, a ligação deve subir um centavo. Mas, de um modo geral, um contrato de opção representará 100 ações. Então você precisa multiplicar o delta por 100 compartilhamentos:

Isso significa que se o preço das ações aumentar $ 1, o valor da sua posição de compra também deverá aumentar $ 1. Então, em essência, está se comportando como uma parte do estoque.

Possuir um contrato de chamada única com um delta de 0,50 é semelhante a possuir 50 ações. Quando o estoque subjacente sobe $ 1, o valor da opção deve aumentar em $ .50. Assim, o valor da posição global aumentará em $ 50. ($ 0,50 x 100 multiplicadores de ação = $ 50.)

Funciona da mesma maneira com puts, mas tenha em mente que puts tem um delta negativo. Então, se você possui um contrato de venda com um delta de -50, ele funcionaria como uma posição vendida de 50 ações. Se o estoque subjacente cair em $ 1, o valor da posição da opção deve subir $ 50.

Cálculo da posição Delta para uma estratégia de perna única com vários contratos.

Aqui está um exemplo. Digamos que você possua 10 contratos de chamadas XYZ, cada um com um delta de 0,75. Para calcular a posição delta, multiplique 0,75 x 100 (assumindo que cada contrato representa 100 compartilhamentos) x 10 contratos. Isso te dá um resultado de 750.

Isso significa que suas opções de compra estão atuando como um substituto para 750 ações da ação subjacente. Então você pode imaginar se o estoque sobe $ 1, a posição aumentará aproximadamente $ 750. Se o estoque subjacente cair $ 1, a posição diminuirá aproximadamente $ 750.

Calculando Delta de posição para várias pernas e várias estratégias.

Na maior parte do tempo, suas estratégias de opções serão mais complexas do que algumas opções de compra com o mesmo preço de exercício. Você pode usar estratégias com várias pernas e pode até executar estratégias diferentes no mesmo estoque subjacente ao mesmo tempo.

Cada uma dessas estratégias pode envolver opções com diferentes preços de exercício e datas de vencimento. Por exemplo, você pode acabar executando um condor de ferro e um longo calendário com chamadas simultaneamente no mesmo estoque subjacente.

Os deltas de algumas opções individuais na posição da opção completa serão positivos e alguns serão negativos. Mas mesmo que as estratégias que você está executando sejam complexas, uma olhada na posição delta pode lhe dar uma idéia de como o valor da posição deve mudar se a ação se mover em um ponto em qualquer direção.

Nós não queremos bagunçar esta seção fazendo as contas em seis ou sete pernas diferentes entre várias estratégias. Portanto, vamos dar uma olhada em um exemplo fácil de como você calcula o delta de posição para uma estratégia simples de múltiplas pernas. Por exemplo, considere uma chamada longa com duas pernas.

O Exemplo 2 mostra os detalhes de um spread longo de chamada XYZ com um longo 55 strike e um short 60 strike, ambos com a mesma data de vencimento. Imagine que com a negociação de ações a US $ 56,55, nós compramos 15 contratos de 55 greves com um delta de 0,61 e vendemos 15 contratos de 60 greves com um delta de 0,29.

Calcular a perna 1.

O delta da chamada de 55 ataques é de 0,61. Então, para determinar o delta total, multiplicamos o multiplicador de ações por 0,11 x 100 x 15 contratos. Isso é igual a 915.

Calcular a perna 2.

O delta da chamada de 60 greves é 0,29. No entanto, uma vez que você está vendendo as chamadas, para esta parte da sua posição, o delta será realmente negativo: -0,29. Então as 60 chamadas curtas & rsquo; O delta total é -.29 x 100 multiplicador de ações x 15 contratos. Isso é igual a -435.

Calculando o Delta da Posição Total.

Agora você simplesmente adiciona os deltas de cada perna para determinar sua posição delta: 915 + (-435) = 480. Portanto, a mudança teórica no valor da posição com base em um movimento de $ 1 no estoque subjacente é de $ 480. Portanto, o valor total dessa posição se comportará como 480 ações XYZ.

Como a posição delta ajuda você a gerenciar seu risco.

Seu delta de posição líquida para opções sobre qualquer ação subjacente representa seu risco atual em relação a uma alteração no preço da ação. No exemplo do spread de longo prazo, você deve se perguntar se está acostumado a ter o mesmo risco de estar comprando 480 ações XYZ. Se não, você pode querer atender a esse risco. Você pode fazer isso fechando parte de sua posição ou adicionando deltas negativos, talvez comprando puts ou vendendo ações a descoberto.

A mesma lógica se aplica se você mantiver uma posição com um delta negativo alto. Você terá o mesmo risco que uma posição vendida no estoque. Para ajustar seu risco, você pode depositar parte de sua posição, comprar chamadas ou comprar ações.

Não se esqueça da gama.

Assim como o gama afetará o delta de uma opção à medida que o preço das ações muda, isso afetará o delta líquido de toda a sua posição também. Portanto, é importante ter em mente que o seu delta de posição mudará a cada pequeno movimento no estoque. E o efeito gama na delta de posição pode ser enorme, porque estamos falando de contratos de múltiplas opções.

O número de ações para as quais suas opções atuam como um substituto será alterado toda vez que o preço das ações mudar. É por isso que é uma boa ideia ficar de olho no seu delta de posição durante toda a vida da sua posição de opção.

Se você tem uma conta na Ally Invest, ficar de olho na posição delta é fácil. Basta olhar para a & ldquo; Opção Visualizar & rdquo; em seu & ldquo; Holdings & rdquo; página, ou use o Profit + Loss Calculator, e nós faremos as contas para você.

Aprenda dicas de negociação & amp; estratégias.

dos especialistas da Ally Invest.

As opções envolvem risco e não são adequadas para todos os investidores. Para mais informações, consulte o folheto Características e Riscos das Opções Padronizadas antes de iniciar as opções de negociação. Opções investidores podem perder todo o montante do seu investimento em um período relativamente curto de tempo.

As estratégias de opções de múltiplas pernas envolvem riscos adicionais e podem resultar em tratamentos tributários complexos. Por favor, consulte um profissional de impostos antes de implementar essas estratégias. A volatilidade implícita representa o consenso do mercado quanto ao nível futuro da volatilidade do preço das ações ou a probabilidade de atingir um ponto de preço específico. Os gregos representam o consenso do mercado sobre como a opção reagirá a mudanças em certas variáveis ​​associadas ao preço de um contrato de opção. Não há garantia de que as previsões de volatilidade implícita ou dos gregos estejam corretas.

A Ally Invest fornece aos investidores autodirigidos serviços de corretagem com desconto e não faz recomendações ou oferece consultoria financeira, jurídica ou fiscal sobre investimentos. A resposta do sistema e os tempos de acesso podem variar devido às condições de mercado, desempenho do sistema e outros fatores. Você é o único responsável por avaliar os méritos e riscos associados ao uso dos sistemas, serviços ou produtos da Ally Invest. Conteúdo, pesquisa, ferramentas e símbolos de ações ou opções são apenas para fins educacionais e ilustrativos e não implicam uma recomendação ou solicitação para comprar ou vender um determinado título ou para se envolver em qualquer estratégia de investimento específica. As projeções ou outras informações sobre a probabilidade de vários resultados de investimento são de natureza hipotética, não são garantidas quanto à exatidão ou integridade, não refletem os resultados reais do investimento e não são garantias de resultados futuros. Todos os investimentos envolvem riscos, perdas podem exceder o principal investido e o desempenho passado de um produto de segurança, indústria, setor, mercado ou financeiro não garante resultados ou retornos futuros.

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Existe uma razão para isso, ou uma maneira de reindexar?

consertar o que está quebrado.

Eu não deveria ter que concordar com coisas que eu não concordo com a fim de dizer o que eu acho - eu não tive nenhum problema resolvido desde que comecei a usar o Yahoo - fui forçado a jogar meu antigo mensageiro, trocar senhas, obter novas messenger, disse para usar o meu número de telefone para alertar as pessoas que era o meu código de segurança, receber mensagens diárias sobre o bloqueio de yahoo tentativas de uso (por mim) para quem sabe por que como ele não faz e agora eu obter a nova política aparecer em cada turno - as empresas costumam pagar muito caro pela demografia que os usuários fornecem para você, sem custo, pois não sabem o que você está fazendo - está lá, mas não está bem escrito - e ninguém pode responder a menos que concordem com a política. Já é ruim o suficiente você empilhar o baralho, mas depois não fornece nenhuma opção de lidar com ele - o velho era bom o suficiente - todas essas mudanças para o pod de maré comendo mofos não corta - vou relutantemente estar ativamente olhando - estou cansado do mudanças em cada turno e mesmo aqueles que não funcionam direito, eu posso apreciar o seu negócio, mas o Ameri O homem de negócios pode vender-nos ao licitante mais alto por muito tempo - desejo-lhe boa sorte com sua nova safra de guppies - tente fazer algo realmente construtivo para aqueles a quem você serve - a cauda está abanando o cachorro novamente - isso é como um replay de Washington d c

Eu não deveria ter que concordar com coisas que eu não concordo com a fim de dizer o que eu acho - eu não tive nenhum problema resolvido desde que comecei a usar o Yahoo - fui forçado a jogar meu antigo mensageiro, trocar senhas, obter novas messenger, disse para usar o meu número de telefone para alertar as pessoas que era o meu código de segurança, receber mensagens diárias sobre o bloqueio de yahoo tentativas de uso (por mim) para quem sabe por que isso acontece e agora eu recebo a nova política em cada turno - as empresas costumam pagar muito pela demografia que os usuários fornecem para você ... mais.

Gregos de opções sobre instrumentos de taxa de juros.

Para avaliar uma opção, é necessário calcular não apenas o valor justo da opção, mas também várias estatísticas de risco, como delta, gama, vega e assim por diante. Essas estatísticas de risco também são conhecidas como gregos. Os gregos medem as sensibilidades do valor de uma opção para determinadas variáveis ​​e são usados ​​principalmente para fins de cobertura. O grego mais importante é o delta. Cobrir uma opção com um delta chama-se cobertura de delta. Para fazer hedge de uma opção, uma pessoa reequilibra sua carteira dinamicamente assumindo uma posição curta ou longa em unidades delta do subjacente por uma unidade da opção na qual ele é longo ou curto, respectivamente. Uma boa estimativa do delta é essencial para a construção de um portfólio de cobertura de delta de qualidade. Boa estimativa significa um bom equilíbrio entre precisão e estabilidade.

Este documento explica, em geral, como os gregos são calculados na biblioteca matemática do FINCAD para opções sobre instrumentos sem taxa de juros, tais como opções de ações, opções de commodities e opções de câmbio.

Fórmulas & amp; Detalhes técnicos.

Definições de gregos.

A taxa de mudança no valor justo da opção com relação ao valor atual do ativo subjacente quando outras variáveis ​​permanecem constantes. Esta é a derivada do preço da opção em relação ao valor atual do subjacente.

A taxa de mudança no valor de delta em relação ao valor atual do ativo subjacente quando outras variáveis ​​permanecem constantes. Esta é a segunda derivada do preço da opção em relação ao valor atual do subjacente.

A taxa de mudança no valor justo da opção por um dia diminui no tempo da opção quando outras variáveis ​​permanecem constantes. Este é o negativo da derivada do preço da opção com relação ao prazo da opção (em anos), dividido por 365.

A taxa de mudança no valor justo da opção por 1% de variação na volatilidade quando outras variáveis ​​permanecem constantes. Este é o derivativo do preço da opção com relação à volatilidade, dividido por 100.

A taxa de mudança no valor justo da opção por 1% de mudança na taxa livre de risco quando outras variáveis ​​permanecem constantes. Este é o derivativo do preço da opção com relação à taxa livre de risco, dividido por 100.

rho de custo de manutenção.

A taxa de mudança no valor justo da opção por 1% de variação no custo de manutenção (ou dividend yield) quando outras variáveis ​​permanecem constantes. Este é o derivativo do preço da opção com relação ao custo de manutenção, dividido por 100. Se o subjacente for o futuro, essa estatística não estará disponível.

Estimação de gregos.

Gregos que têm soluções de forma fechada.

Com base no modelo log-normal de Black-Scholes, uma opção de chamada ou de venda padrão tem uma fórmula de forma fechada. Para tal opção, fórmulas de forma fechada também podem ser derivadas de seus gregos. Neste caso, os gregos podem ser calculados diretamente sem qualquer aproximação numérica que não seja o cálculo de uma distribuição normal cumulativa. Para as fórmulas de forma fechada dos gregos, veja Haug [1].

Gregos que são tirados de uma árvore binomial.

Algumas opções, particularmente as opções de estilo bermudense ou americano, são frequentemente valorizadas pelo método da árvore binomial de Rubinstein. Com esse método, os gregos, delta, gama e teta podem ser obtidos diretamente da árvore criada para calcular o valor justo da opção. Desta forma, nenhuma reavaliação é necessária e, assim, o tempo computacional é salvo.

Lembre-se de que uma árvore binomial de Rubinstein é uma estrutura de árvore sobre o preço de um instrumento financeiro. Para um dado horizonte de tempo, por exemplo, tempo até o vencimento de uma opção, o intervalo de tempo entre 0 e o horizonte de tempo é dividido em períodos igualmente espaçados. Cada período, chamado de etapa de tempo, está associado a vários cenários de preços, chamados de nós. Um nó tem duas ramificações, uma das quais sobe e a outra desce. Em um nó com um preço de, o subjacente aumentará para, onde ou diminuirá na próxima etapa de tempo. Uma opção é avaliada primeiro calculando os valores da opção em cada um dos nós no vencimento da opção e, em seguida, iterando para trás para calcular os valores da opção em outros nós. Em um determinado nó, o valor da opção é determinado levando-se o máximo do valor intrínseco da opção e seu valor futuro esperado com desconto para uma opção estilo bermudense ou americano e simplesmente seu valor futuro esperado descontado para uma opção européia. O valor da opção na raiz da árvore é o valor da opção em consideração.

Deixe denotar o preço à vista do subjacente e o valor justo da opção. Uma estimativa do delta da opção é:

onde está a alteração no valor da opção quando o preço das alterações subjacentes por Em uma árvore binomial permite obter os valores da opção nos nós e, respectivamente. Em seguida, uma estimativa do delta da opção pode ser calculada como:

Um gama é a mudança do delta dividido pela mudança no preço do subjacente. Para estimar, os valores justos da opção nos nós na etapa de tempo 2 também são necessários. Suponha que os valores justos na etapa de tempo 2 sejam (correspondendo aos três possíveis preços subjacentes, observando isso. Para estimar uma gama, considere a diferença de deltas quando o preço subjacente está na metade e entre e. Desde os dois deltas estamos:

e a mudança subjacente é:

Uma gama pode então ser estimada como:

Theta é a taxa de alteração no valor da opção em relação à alteração no tempo, quando o preço subjacente e outros parâmetros são mantidos iguais. Como na etapa 2, o nó do meio tem o mesmo preço subjacente do preço à vista no momento 0, uma estimativa de theta é:

Para mais detalhes de uma árvore binomial de Rubinstein e estimativa de gregos de uma árvore binomial, veja Hull [2].

Gregos que são tirados de uma grade de diferenças finitas.

Opções bermudas ou americanas também podem ser avaliadas resolvendo-se a equação subjacente de não-arbitragem. Esta é uma equação diferencial parcial de segunda ordem em duas variáveis ​​(o preço e o tempo do ativo subjacente). Ele pode ser resolvido numericamente construindo uma grade de pontos nessas duas variáveis ​​e usando diferenças finitas para aproximar as derivadas. Os gregos delta, gama e teta podem ser retirados diretamente da rede e nenhuma reavaliação é necessária.

O primeiro passo é configurar uma grade de pontos nas duas variáveis, preço do ativo e tempo, rotulados por i e j. O intervalo de tempo entre 0 e o horizonte de tempo é dividido em períodos, que não precisam ser igualmente espaçados (as etapas de tempo podem ser adicionadas em datas importantes, digamos aquelas nas quais ocorrem fluxos de caixa). A faixa final provável do preço do ativo subjacente também é dividida em períodos, dando uma grade bidimensional de pontos. O valor presente do preço subjacente também pode ser disposto para cair exatamente em um dos pontos da grade. Uma opção é avaliada primeiro calculando os valores da opção em cada um dos pontos da grade no vencimento da opção e, em seguida, iterando para trás para calcular os valores da opção em outras etapas de tempo. Vários esquemas de diferenças finitas podem ser usados, sendo o mais popular e preciso o esquema Crank-Nicolson. A cada passo do tempo, é construído um vetor de preços de opções em cada uma das etapas do ativo, e uma equação matricial é resolvida para esse vetor de preços de opções. O valor presente da opção é então o componente do vetor time-0 correspondente ao valor presente do preço subjacente.

Deixe denotar o preço à vista do subjacente, o tamanho da etapa do ativo e o preço da opção no ponto da grade. Uma estimativa do delta da opção é:

onde está o valor presente (hora-0) da opção no ponto da grade. Essa é a diferença de aproximação central para o delta e é mais precisa do que o avanço da diferença para trás: o erro é.

Um gama é a mudança do delta dividido pela mudança no preço do subjacente. A aproximação natural para isso é:

O erro nesta aproximação é também.

Theta é a taxa de alteração no valor da opção em relação à alteração no tempo, quando o preço subjacente e outros parâmetros são mantidos iguais. Existem várias aproximações que podemos usar para estimar o valor de theta, o usado no esquema Crank-Nicolson sendo:

onde está o valor da opção no momento, um passo-a-passo a partir de hoje e no ponto da grade. Para mais detalhes de uma árvore binomial de Rubinstein e estimativa de gregos de uma árvore binomial, veja Wilmott [3].

Gregos que são calculados com o método de colisão.

Gregos da maioria das opções exóticas não têm soluções simples de forma fechada. Se tais opções não forem avaliadas com um método de árvore, ou se os gregos não puderem ser tirados diretamente da árvore, então uma aproximação numérica é necessária para estimá-los. Na biblioteca de matemática do FINCAD, um método de aproximação genérico, o chamado método de esbarrar, é usado. Este é um método numérico padrão para o cálculo da derivada de uma função. As fórmulas são dadas abaixo para a estimativa das derivadas de primeira e segunda ordem de uma função.

Estimativa de derivadas de primeira ordem.

A. Para uma aproximação unilateral:

B. Para uma aproximação bilateral:

Estimativa de derivativos de segunda ordem.

Seleção do tamanho de colisão.

Uma pergunta natural a fazer é que a melhor escolha de um tamanho de colisão é. Matematicamente, se a derivada de uma função existe, então quanto menor o tamanho da colisão, mais precisa é a aproximação. No entanto, na implementação, um pequeno tamanho de impacto nem sempre é uma boa solução. Um pequeno tamanho de impacto pode tornar uma estimativa instável. À medida que o tamanho da colisão diminui, o derivado resultante pode se tornar volátil à medida que a variável subjacente muda ligeiramente. Grades instáveis ​​podem trazer dificuldades para a cobertura dinâmica de uma opção.

Nas funções FINCAD, são usados ​​dois tipos de tamanhos de bombeamento, absoluto e relativo. O método de aproximação pode ser unilateral ou bilateral. O uso de um determinado tamanho de colisão ou um método de aproximação é baseado na consideração de precisão, estabilidade e simplicidade. A seguir estão os tamanhos de colisão usados ​​na biblioteca de matemática do FINCAD.

Delta e Gama.

Tipo 1: um tamanho absoluto de impacto.

Tipo 2: um tamanho de batida relativo.

onde é uma constante. Na maioria dos casos e em outros casos. Ajustes no tamanho de colisão são usados ​​em alguns casos. Por exemplo, em uma função de opção de barreira, se o preço ultrapassado ultrapassar uma barreira, o tamanho da colisão será reduzido, de modo que o preço colidido não ultrapasse a barreira.

Um tamanho absoluto de trepidação é sempre usado:

onde para a maioria das opções funciona a constante e em outros casos é 0,001.

Note que vegas e rhos são sempre escalados em 1/100.

O theta é colidido com um tamanho absoluto de colisão de um dia (= 1/365, aproximadamente) e é dimensionado em 1/365. Rigorosamente:

onde está o valor de uma opção na data.

Referências.

[2] Hull, John, (1997), Opções, Futuros e Outros Derivativos, 3ª ed., Upper Saddle River, Prentice Hall.

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Opções Delta.

O que é o grego chamado Delta na negociação de opções? Como as opções delta afetam minha negociação de opções?

Opções Delta - Definição.

Options Delta is the options greek that measures the sensitivity of an option's price to a change in the price of the underlying stock.

Options Delta - Introduction.

Perhaps the most exotic thing you would ever learn in options trading are the options greeks.

Where To Get Delta of Options?

You can get the delta value, as well as of other options greeks, from a kind of options chain known as a "Pricer", which is available on all reputable online options brokers. Abaixo está um exemplo de um pricer de opções retirado do Optionsxpress.

Options Delta - Characteristics.

Positive & Negative Options Delta Values.

Options delta values are either positive or negative. Call Options have positive delta values suggesting that it will gain in value proportionately with a gain in value in the underlying stock. Put Options have negative delta values suggesting that it will lose value as the underlying stock rises. Por outro lado, as opções de compra com seus valores delta positivos caem no preço à medida que o estoque subjacente cai e colocam opções com seus valores delta negativos ganhos no preço à medida que o estoque subjacente cai. In short, positive delta value becomes profitable as the stock goes up and negative delta value becomes profitable as the stock goes down.

Options Delta & Options Moneyness.

Options delta value rises as options gets more and more In The Money (ITM) and reduces as the options gets more and more Out Of The Money (OTM). At The Money Options, no matter call or put options, have delta value of 0.5, suggesting a 50% chance of either ending up In The Money or Out Of The Money. Learn about Options Moneyness now.

Options Delta & Time to Expiration.

When there is lesser time to expiration, the chances of options staying in their prevailing state of moneyness by expiration increases. This means that the nearer to expiration an option is, the more likely it is that in the money options will stay in the money by expiration and out of the money options staying out of the money by expiration. As such, the nearer to expiration, the higher the options delta value of in the money options would be and the lower the delta value of out of the money would be at the same strike price. Saiba mais sobre a expiração de opções agora.

Rate Of Change Of Options Delta.

Options delta value changes as it gets more and more in the money or out of the money. Essa taxa de mudança é governada por outros gregos de opções conhecidos como Gama.

Options Delta - What It Suggests.

There are 2 main ways to look at what options delta mean. It is first an indication of how much the value of the option will move with a $1 move in the underlying stock (all else equal, disregarding volatility), secondly, it is also an indication of the approximate probability that the option will end up In The Money (ITM) by expiration. Options with delta value of 1 is pricing in a 100% probability of ending up In The Money by expiration. Options with delta value of 0.5 is pricing in a 50% probability of ending up In The Money by expiration.

Options Delta - An Indication Of Relative Change.

The most direct and important application of options delta is in its indication of relative change against the price of the underlying stock. A positive options delta value means that the option's price moves in the same direction as the underlying stock while a negative options delta value means that the option's price moves inversely proportionate to the movement of the underlying stock. When you buy call options, which has positive options delta values, you make money when the stock goes up and loses money when the stock goes down in the same proportion. When you buy put options, which has negative options delta values, you make money when the stock goes down and loses money when the stock goes up.

When you buy call options, you are buying positive options deltas while you are buying negative options deltas when you buy put options. Conversely, when you write call options, you are gaining negative options deltas while you are gaining positive options deltas when you write put options.

Delta value also allows you to calculate an approximate gain or loss in value with a $1 move in the underlying stock. If you buy 1 contract of call option with delta value of 0.7, it means that every option gains approximately $0.70 in value when the underlying stock goes up $1. Since 1 contract represents 100 shares, each contract of those call options gain $70 with a $1 gain in the underlying stock. Similarly, if you buy 1 contract of put option with delta value of 0.7, you make $70 for every $1 drop in the underlying stock. These calculations are only approximations because delta value is changing all the time even while the stock is moving and that options prices are also affected by implied volatility.

Since options delta value is the ratio of how much options will move in relation to the underlying stock, delta value suggests how many corresponding stocks you are effectively buying with those options. 2 contracts of at the money call options with delta value of 0.5 has a total of 200 x 0.5 = 100 deltas. 100 deltas means that you are effectively controlling the exact movements of 100 shares of the underlying stocks and therefore almost as good as buying 100 shares (when the underlying stock rises $1, the options rise a total of $100). If you buy 10 contracts of put options with delta value of -0.75, you are effectively short 1000 x 0.75 = 750 shares. Com isso em mente, você seria capaz de calcular o número exato de opções para comprar, a fim de ser efetivamente longo ou curto, um número definido de ações. If you wish to be long 1000 shares, you could either buy 20 contracts of at the money call options with delta value of 0.5 (1000 / 50 = 20) or you could buy 13 contracts of in the money call options with delta value of 0.77 (1000 / 77 = 13).

Another important application of knowing the exact delta value and thus how much the options will move in relation to its underlying stock is that it allows you to calculate the exact number of options you need to perform delta neutral hedging. By having a delta neutral position, you ensure that the value of your position remain stagnant no matter which way the underlying stock went and is useful when market conditions are temporarily dangerous.

Options Delta - Probability Of Ending In The Money.

Another way of looking at options delta is that it approximates the probability that the option will end up In The Money by expiration. Deep in the money options have delta value of 1 or close to 1, which means that it has almost a 100% chance of staying in the money by expiration. At the money options have delta value of 0.5 or 50%, which means that it has a 50/50 chance of ending in the money by expiration as the stock could move either higher or lower than that price.

Typical Options Delta Values.

Even though exact options delta values can only be derived with precise calculation using an options pricing model such as the Black-Scholes Model, experienced options traders usually approximate these values using the following rule of thumbs:

1. At The Money options have options delta value of 0.5.

Greeks of Options on Non-Interest Rate Instruments.

To value an option one needs to calculate not only the option’s fair value, but also various risk statistics, such as delta, gamma, vega and so on. These risk statistics are also known as greeks. Greeks measure sensitivities of an option’s value to certain variables and are mostly used for hedging purposes. The most important greek is the delta. Hedging an option with a delta is called delta hedging. To delta hedge an option, one rebalances his/her portfolio dynamically by taking a short or long position on delta units of the underlying per one unit of the option in which he/she is long or short, respectively. A good estimate of the delta is essential in constructing a quality delta hedging portfolio. Good estimation means a good balance between accuracy and stability.

This document explains in general how greeks are calculated in the FINCAD math library for options on non-interest rate instruments, such as equity options, commodity options and FX options.

Formulas & Detalhes técnicos.

Definitions of Greeks.

The rate of change in the fair value of the option with respect to the current value of the underlying asset when other variables remain constant. This is the derivative of the option price with respect to the current value of the underlying.

The rate of change in the value of delta with respect to the current value of the underlying asset when other variables remain constant. This is the second derivative of the option price with respect to the current value of the underlying.

The rate of change in the fair value of the option per one day decrease in the option time when other variables remain constant. This is the negative of the derivative of the option price with respect to the option time (in years), divided by 365.

The rate of change in the fair value of the option per 1% change in volatility when other variables remain constant. This is the derivative of the option price with respect to the volatility, divided by 100.

The rate of change in the fair value of the option per 1% change in the risk-free rate when other variables remain constant. This is the derivative of the option price with respect to the risk-free rate, divided by 100.

rho of holding cost.

The rate of change in the fair value of the option per 1% change in the holding cost (or dividend yield) when other variables remain constant. This is the derivative of the option price with respect to the holding cost, divided by 100. If the underlying is futures, this statistic is not available.

Estimation of Greeks.

Greeks that have closed-form solutions.

Based on the Black-Scholes lognormal model a standard call or put option has a closed-form formula. For such an option, closed-form formulas can also be derived for its greeks. In this case the greeks can be calculated directly without any numeric approximation other than the calculation of a cumulative normal distribution. For the closed-form formulas of greeks, see Haug [1] .

Greeks that are taken from a binomial tree.

Some options, particularly, Bermudan or American style options, are often valued with the Rubinstein binomial tree method. With this method the greeks, delta, gamma and theta, can be taken directly from the tree that is built to calculate the option’s fair value. This way no revaluation is needed and thus computational time is saved.

Recall that a Rubinstein binomial tree is a tree structure on the price of a financial instrument. For a given time horizon, e. g., time to maturity of an option, the time interval between 0 and the time horizon is divided into equally-spaced periods. Each period, called a time step, is associated with several price scenarios, called nodes. A node has two branches, one of which goes up and the other goes down. At a node with a price of , the underlying will increase to , where , or decrease to at the next time step. An option is valued by first calculating the values of the option at each of the nodes at the option’s expiry, and then iterating backwards to calculate the values of the option at other nodes. At a given node the option’s value is determined by taking the maximum of the option’s intrinsic value and its discounted expected future value for a Bermudan or American style option and simply its discounted expected future value for a European option. The value of the option at the root of the tree is then the value of the option in consideration.

Let denote the spot price of the underlying and the option’s fair value. An estimate of the option’s delta is:

where is the change in the option’s value when the price of the underlying changes by In a binomial tree let and b e the option’s values at the nodes and , respectively. Then an estimate of the option’s delta can be calculated as:

A gamma is the change of the delta divided by the change in the price of the underlying. To estimate it, the fair values of the option at the nodes in time step 2 are also needed. Suppose the fair values at time step 2 are ( corresponding to the three possible underlying prices , noting that . To estimate a gamma, consider the difference of deltas when the underlying price is half way between and and half way between and . Since the two deltas are:

and the underlying change is:

A gamma can then be estimated as:

Theta is the rate of change in the option’s value with respect to the change in time, when the underlying price and other parameters are kept the same. Since at time step 2 the middle node has the same underlying price as the spot price at time 0, an estimate of theta is:

For more details of a Rubinstein binomial tree and estimation of greeks from a binomial tree, see Hull [2] .

Greeks that are taken from a finite difference grid.

Bermudan or American options can also be valued by solving the underlying no-arbitrage equation. This is a second-order partial differential equation in two variables (the underlying asset price and time). It can be solved numerically by constructing a grid of points in those two variables, and using finite differences to approximate the derivatives. The greeks delta, gamma and theta can be taken directly from the grid and no revaluation is needed.

The first step is to set up a grid of points in the two variables, asset price and time, labeled by i and j. The time interval between 0 and the time horizon is divided into periods, which need not be equally spaced (time-steps can be added on important dates, say those on which cash flows occur). The likely final range of the underlying asset price is also divided into periods, giving a two-dimensional grid of points. The present value of the underlying price can also be arranged to fall exactly on one of the grid points. An option is valued by first calculating the values of the option at each of the grid points at the option’s expiry, and then iterating backwards to calculate the values of the option at other time-steps. Various finite difference schemes can be used, the most popular and accurate being the Crank-Nicolson scheme. At each time-step, a vector of option prices at each of the asset steps is constructed, and a matrix equation is solved for this vector of option prices. The present value of the option is then the component of the time-0 vector corresponding to the present value of the underlying price.

Let denote the spot price of the underlying, the asset step size and the option price at the grid point . An estimate of the option’s delta is:

where is the option’s present (time-0) value at the grid point . This is the central difference approximation for delta, and is more accurate than either the forward of backward difference: the error is .

A gamma is the change of the delta divided by the change in the price of the underlying. The natural approximation for this is:

The error in this approximation is also .

Theta is the rate of change in the option’s value with respect to the change in time, when the underlying price and other parameters are kept the same. There are various approximations we can use to estimate the value of theta, the one used in the Crank-Nicolson scheme being:

where is the option value at time , one time-step out from today, and at the grid point . For more details of a Rubinstein binomial tree and estimation of greeks from a binomial tree, see Wilmott [3] .

Greeks that are calculated with the bumping method.

Greeks of most exotic options don’t have simple closed-form solutions. If such options are not valued with a tree method, or if the greeks cannot be taken directly from the tree, then a numeric approximation is needed to estimate them. In the FINCAD math library, a generic approximation method, the so-called bumping method, is used. This is a standard numeric method for the calculation of a function’s derivative. The formulas are given below for the estimation of the first and second order derivatives of a function.

Estimation of first order derivatives.

A. For a one-sided approximation:

B. For a two-sided approximation:

Estimation of second order derivatives.

Selection of the bumping size.

One natural question to ask is that what the best choice of a bumping size is. Mathematically, if the derivative of a function exists, then the smaller the bumping size, the more accurate the approximation is. However, in implementation, a small bumping size is not always a good solution. A small bumping size may make an estimate unstable. As the bumping size decreases, the resulting derivative may become volatile as the underlying variable changes slightly. Unstable greeks may bring difficulties to the dynamic hedging of an option.

In FINCAD functions two types of bumping sizes, absolute and relative, are used. The approximation method can be one-sided or two-sided. The use of a particular bumping size or an approximation method is based on the consideration of accuracy, stability and simplicity. The following are the bumping sizes used in FINCAD math library.

Delta and Gamma.

Type 1: An absolute bumping size.

Type 2: A relative bumping size.

where is a constant. In most cases and in other cases . Adjustments to the bumping size are used for some cases. For example, in a barrier option function, if the bumped price crosses a barrier, the bump size will be reduced so that the bumped price will not cross the barrier.

An absolute bumping size is always used:

where for most option functions the constant and in other cases it is 0.001.

Note that vegas and rhos are always scaled by 1/100.

The theta is bumped with an absolute bumping size of one day (=1/365, approximately) and is scaled by 1/365. Rigorously:

where is the value of an option at the date.

Referências.

[2] Hull , John, (1997), Options, Futures, and Other Derivatives, 3rd ed ., Upper Saddle River , Prentice Hall.

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